Sooji Shin

두 원기둥이 비스듬히 교차하는 부분의 부피

(Sooji Shin) — Mon, 30 Jan 2012 06:24:19 -0600

아래 그림과 같이 두 원기둥(실린더)이 비스듬히 교차할 때, 교차하는 부분의 부피를 구해보자. 이 문제는 적분의 기본 성질을 알고 있으면 고등학교 수준에서 풀린다.

두 원기둥이 이루는 각을 θ라고 하자. 그리고 먼저 다음과 같이 y축을 축으로 하고 반지름이 r인 원기둥을 생각하자.

이 원기둥을 xy 평면에서 원점을 중심으로 θ/2만큼 회전시켜 만든 원기둥을 α라고 하고 음의 방향으로 θ/2만큼 회전시켜 만든 원기둥을 β라고 하자.

반지름이 r이고 원점이 중심인 구가 두 원기둥의 교차부분에 꼭 맞게 들어간다. 이것을 와이어프레임으로 렌더링한 이미지로 나타내면 다음과 같다.

이제 교차부분이 이루는 입체도형을 z축에 수직인 평면으로 자른다고 생각하자. 잘린 교차부분의 단면의 넓이를 f(z)라고 하자. 그리고 잘린 구의 단면의 넓이를 s(z)라고 하자.

위 그림에서 xy평면의 제1사분면과 제3사분면에 해당하는 부분은 β가 더 바깥으로 나와 있으므로 교차 부분의 부피를 생각할 때에는 α가 감싸는 부분만 생각하면 된다. 마찬가지로 xy평면의 제2사분면과 제4사분면에 해당하는 부분은 β가 감싸는 부분만 생각하면 된다. 따라서 z축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 교차부분의 단면은 한 내각의 크기가 θ인 마름모가 되며, 이 마름모 안에 구의 단면원이 꼭 맞게 들어간다. 이 사실을 이용하면 f(z)와 s(z)의 관계는

이므로, 이것을 f(z)에 대하여 정리하면

가 된다. 이 식을 이용하여 교차부분의 부피를 구하면

가 된다. 참고로 두 원기둥이 수직으로 교차하는 경우 교차부분의 부피는

이 된다. 직교하는 세 원기둥의 교차하는 부분의 부피는 459번 글을 보기 바란다.

영어권 사람들이 본 언어별 난이도

(Sooji Shin) — Fri, 27 Jan 2012 03:25:33 -0600

텍스트큐브 동영상 재생기 삽입 플러그인

(Sooji Shin) — Thu, 26 Jan 2012 07:21:14 -0600

텍스트큐브에서 동영상 재생기 삽입하는 플러그인 제작 성공~
더 예쁘게 만들면 공개할게요~

양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현된다

(Sooji Shin) — Mon, 16 Jan 2012 08:39:47 -0600

정리 1. 임의의 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다.

증명. r가 임의로 주어진 양의 유리수라고 하자. 그리고 부등식

을 만족시키는 유리수 v를 택하자. 유리수의 조밀성에 의하여 그러한 유리수를 택할 수 있다. 다음으로

라고 정의하자. 그러면

이므로 u는 1보다 작은 양수가 된다. u, s, z, t는 모두 양의 유리수이며 x, y도 유리수이다. 그런데

이므로

를 얻고

이 성립한다. 따라서

이고 z < 1 이 성립한다. 그러므로 x와 y는 양수이다. 한편

이고

이므로

을 얻으며, 그 결과로서

를 얻는다. 한편

보다 작으면서 그에 얼마든지 충분히 가까운 유리수 v를 택할 수 있으므로 u와 su = z 는 얼마든지 작아질 수 있다. 따라서 위 방정식을 만족시키는 유리수 x, y, z는 무수히 많다. (증명 끝)

따름정리 2. 임의의 자연수 n에 대하여 등식 x³ + y³ + z³ = nt³ 을 만족시키는 서로소인 자연수 x, y, z, t는 무수히 많다.

따름정리 3. 임의의 자연수 s ≥ 3 에 대하여, 임의의 양의 유리수는 s개의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다.

정리의 증명에서 v를

보다 더 큰 값으로 바꾸면

이므로

을 얻는다. 따라서 다음 정리를 얻는다.

정리 4. 임의의 양의 유리수는 양의 유리수 x, y, z에 대한 x³ + y³ - z³ 의 꼴로 표현될 수 있으며, 이러한 표현의 방법은 무수히 많다.

이 정리를 수 양의 유리수 r, t 의 조합 r + t³ 에 적용하면 다음 정리를 얻는다.

정리 5. 임의의 유리수는 양의 유리수 x, y, z, t에 대한 x³ + y³ - z³ - t³ 의 꼴로 표현될 수 있으며, 이러한 표현의 방법은 무수히 많다.

한혜진 ― "난 썩었어"

(Ivana) — Mon, 09 Jan 2012 23:49:14 -0600

HyejinHan_SuckMyself.swf

2012년 달력 (열두 달 한 페이지)

(Sooji Shin) — Fri, 06 Jan 2012 09:33:20 -0600

열 두달이 한 페이지에 들어 있는 작은 달력입니다.
책상 위나 책상 옆 벽에 붙여 놓고 보세요.
한글 파일과 PDF 파일을 올려요.
한글 파일이 이상하게 보이는 사람은 PDF 파일 출력하세요.

Sooji_Calendar_2012_tiny.hwp

Sooji_Calendar_2012_tiny.pdf

레깅스보다 스타킹이 따뜻하다

(Sooji Shin) — Fri, 06 Jan 2012 06:38:33 -0600

이거 잘 모르는 사람들이 많더라구. 레깅스가 스타킹보다 따뜻한 줄 알고 입는 사람들이 많은데 그렇지 않아. 스타킹을 신지 않고 레깅스를 입는 진짜 이유는 크게 두 가지, 하나는 유행, 다른 하나는 올 나갈 염려가 없다는 것.

“따뜻한 레깅스 있습니다.” 요즘 거리에서 쉽게 볼 수 있는 상가 앞 광고 문구다. 과연 그럴까?

레깅스는 올해 크게 유행을 타고 있다. 몸에 착 들러붙어 섹시한 각선미를 드러낸다는 것이 첫 번째 목적이지만, 보온 효과까지 있다니 일석이조 같고, 그래서 여성 의류점이나 노점에서 레깅스 전시-광고를 쉽게 볼 수 있다.

그래서 건강 포털 코메디닷컴은 실제로 레깅스가 따뜻한지를 실제 실험을 통해 측정해 보기로 했다. 이대 목동병원 정형외과 신상진 교수 팀에 의뢰해 실제로 레깅스, 스타킹, 바지를 입은 20대 여성의 다리 온도를 적외선 체열 진단기(DITI)로 측정함으로써 보온 효과를 수치화했다.

일반적 상식으론 바지가 가장 따뜻하고, 약간의 두께가 있는 레깅스가 그 다음이고, 얇은 스타킹이 보온효과에선 꼴찌일 것으로 생각하기 쉽다. 그러나 실험 결과는 그렇지 않았다. 레깅스는 실험 대상 중 보온 효과가 가장 떨어지는 것으로 나타났다.

보온 효과 측정은 지난 6일 오후 4시경 진행됐다. 이날 기온은 최저 12.50도, 최고 18.4도로 쌀쌀한 편이었다. 실험은 20대 여성이 △맨살 △겨울용 스타킹 △발목이 노출된 레깅스 △평상복 바지를 각각 입고 10분간 야외에 서 있다가 실험실로 돌아오는 즉시 맨살의 온도를 적외선 체열 진단기로 측정하는 방식으로 진행됐다.

측정 값은 ‘실내 온도 - DITI 측정온도’로 숫자가 높을수록 보온 효과가 좋음을 나타낸다. 측정 결과는 맨살 1.53, 레깅스 1.59, 스타킹 2.21, 바지 2.28이었다. 바지-스타킹의 보온성이 상대적으로 좋았던 반면, 레깅스는 맨살 때와 거의 차이가 없었다. 보온 효과만 볼 때는 큰 도움을 주지 못한다는 결론이다.

실험을 주도한 신상진 교수는 “예상과는 정반대의 결과가 나왔다”며 “스타킹이 예상 외로 바지와 비슷한 체온 보호 효과가 있는 반면, 레깅스는 거의 보온 효과가 없는 것으로 드러났다”고 말했다.

눈으로 보기와는 달리 레깅스의 보온 효과가 미미한 이유는 일단 발목 노출 때문으로 풀이된다. 사람은 발, 손 등 말단 부위가 따뜻해야 추위를 덜 느끼기 때문이다.

한림대 평촌성심병원 피부과 김광중 교수는 “목에는 동맥 같은 큰 혈관이 지나는데 목의 피부가 얇기 때문에 추위에 예민하다”며 “발목이 따뜻해야 추위를 덜 느끼는 것도 발목에 있는 혈관도 이를 감싸고 있는 피부가 얇기 때문으로 설명할 수 있다”고 말했다.

간단해 보이는 목도리 또는 스카프의 보온 효과가 큰 것도 목 부위를 지나는 큰 혈관을 통해 손실되는 열을 막아주는 까닭이다.

실험을 마친 이대목동병원 신 교수는 “발목부터 발까지를 완전히 덮는 레깅스를 선택했다면 결과가 달라질 수 있었을 것”이라며 “여러 레깅스를 일일이 측정한 실험 값은 아니지만 일단 발목이 노출되는 레깅스의 보온 효과가 미미하다는 점이 증명됐으므로 레깅스를 애호하는 여성은 추운 날 옷차림에 참고할 수 있을 것”이라고 말했다.

반면 빈약해 보이기 짝이 없는 얇은 스타킹의 보온 효과가 상대적으로 좋은 이유는 무엇일까? 영국 케임브리지대학 맥 커슬레이크 박사는 학술지 ‘인체공학 (Ergonomics)’에 발표한 논문에서 “피부에는 온도를 감지하는 감각점들이 있으며 그 중 냉감 수기(cold receptors)는 차가운 기운이 닿을 때 예민해진다”며 “스타킹은 다리 피부가 갑자기 찬 기운에 노출되는 현상을 완화시킴으로써 다리를 따뜻하게 보호한다”고 밝혔다.

덕성여대 섬유학과 정임희 교수는 “레깅스는 피부에 완전 밀착함으로써 섹시한 느낌을 높이는 것이 특징”이라며 “레깅스와 다리 피부 사이에 일부 공기 공간이 있으면 보온 효과를 높일 수 있다”고 설명했다.

피부와 옷 사이에 공기층을 둠으로써 보온 효과를 높이는 것은 내복에서 완벽하게 증명된다. 에너지관리공단에 따르면 내복은 3℃ 정도의 보온효과를 주기 때문에 실내온도를 3℃ 정도 낮춰 난방비를 20% 절약할 수 있게 해준다.

츨차 : KorMedi

Product AB of 3×2 matrix A and 2×3 matrix B is not invertible

(Sooji Shin) — Wed, 04 Jan 2012 06:06:27 -0600

Theorem. Let A be a p×q matrix and B be a q×p matrix, while p and q are positive integers satisfying p > q. Then the product matrix AB is not invertible.

Proof. Note that an m×n matrix can be regarded as a linear transform from Rⁿ to R^m. Note further that the following statements are equivalent:

AB is invertible.
AB is a one-to-one linear transform from Rp onto itself.
ker(AB) = {0}.
dim(AB(R^p)) = p. (i.e. the dimension of range of AB is p.)

These are a fundamental theorem of Linear Algebra.
Thus we now only have to show that dim(AB(R^p)) ≠ p.

The dimension of row space of B is q, which equals the dimension of column space of B, thus the dimension of range of B cannot be larger than q, i.e. dim(B(R^p)) ≤ q. Besides, for the dimension of range of a linear transform cannot be larger than the dimension of domain, we have dim(A(B(R^p))) ≤ q. Since AB(R^p) = A(B(R^p)), we finally have dim(AB(R^p)) ≤ q < p. Proved by Sooji Shin.

Is there anyone who knows another proof?

의자가 된 남친

(Ivana) — Tue, 03 Jan 2012 03:45:04 -0600

그냥 그렇다고

(Sooji Shin) — Sun, 01 Jan 2012 07:11:46 -0600

난 그냥 개인적으로 이 노래 좋은데.
쓰레기 같은 노래라고 하는 사람도 있더라.
가사가 맘에 들어.
그냥 그렇다고.

귀여운 척, 예쁜 척 안 해서 좋아하는.