정리 1. 임의의 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다.
증명. r가 임의로 주어진 양의 유리수라고 하자. 그리고 부등식
을 만족시키는 유리수 v를 택하자. 유리수의 조밀성에 의하여 그러한 유리수를 택할 수 있다. 다음으로
라고 정의하자. 그러면
이므로 u는 1보다 작은 양수가 된다. u, s, z, t는 모두 양의 유리수이며 x, y도 유리수이다. 그런데
이므로
를 얻고
이 성립한다. 따라서
이고 z < 1 이 성립한다. 그러므로 x와 y는 양수이다. 한편
이고
이므로
을 얻으며, 그 결과로서
를 얻는다. 한편
보다 작으면서 그에 얼마든지 충분히 가까운 유리수 v를 택할 수 있으므로 u와 su = z 는 얼마든지 작아질 수 있다. 따라서 위 방정식을 만족시키는 유리수 x, y, z는 무수히 많다. (증명 끝)
따름정리 2. 임의의 자연수 n에 대하여 등식 x3 + y3 + z3 = nt3 을 만족시키는 서로소인 자연수 x, y, z, t는 무수히 많다.
따름정리 3. 임의의 자연수 s ≥ 3 에 대하여, 임의의 양의 유리수는 s개의 유리수의 세제곱의 합으로 표현될 수 있으며, 그러한 표현의 방법은 무수히 많다.
정리의 증명에서 v를
보다 더 큰 값으로 바꾸면
이므로
을 얻는다. 따라서 다음 정리를 얻는다.
정리 4. 임의의 양의 유리수는 양의 유리수 x, y, z에 대한 x3 + y3 - z3 의 꼴로 표현될 수 있으며, 이러한 표현의 방법은 무수히 많다.
이 정리를 수 양의 유리수 r, t 의 조합 r + t3 에 적용하면 다음 정리를 얻는다.
정리 5. 임의의 유리수는 양의 유리수 x, y, z, t에 대한 x3 + y3 - z3 - t3 의 꼴로 표현될 수 있으며, 이러한 표현의 방법은 무수히 많다.
Geschrieben von Sooji Shin