Sooji Shin

오늘은 다음과 같은 Stirling의 공식을 증명하겠습니다. 단, Wallis Product를 이용하여 증명하겠습니다.

여기서 ~ 표시는 극한의 비율이 1이라는 것을 의미합니다. 즉

이 성립한다는 것을 의미합니다. 이 극한은 보통

으로도 표현됩니다. 이 공식을 증명하기 위하여 다음 등식에서 출발합니다.

로그 함수는 개구간 (0, ∞)에서 증가하는 함수이므로 n ≥ 1 일 때 다음을 얻습니다.

n = 1, 2, 3, …, N일 때 위 부등식을 변변 더하면

를 얻습니다. [물론 여기서 좌변의 적분이 특이적분(improper integral)이긴 하지만 수렴한다는 것은 쉽게 알 수 있습니다.] log(x)의 부정적분 중 하나가 x log(x) - x 라는 사실을 이용하면 다음을 얻습니다.

다음으로 수열 {d_n}을 다음과 같이 정의합시다.

그러면 다음을 얻습니다.

한편 간단한 계산을 통해 다음 등식을 얻습니다.

테일러 급수

를 이용하면 -1 < t < 1일 때

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서

가 성립합니다. 여기서 우변의 무한급수는 등비급수이므로 다음을 얻습니다.

이상의 논의에 의하여 두 가지 사실을 얻습니다.

• 수열 {d_n}은 감소하는 수열이다.
• 수열 {d_n - 1/(12n)}은 증가하는 수열이다.

따라서 {d_n}은 수렴합니다. {d_n}의 극한을 C라고 합시다. 그러면

이고, C > d₁ - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12 을 얻습니다. 밑이 e이고 지수가 d_n 인 지수함수의 극한을 생각하면 다음을 얻습니다.

이제 끝으로 다음 등식이 성립함을 보여야 합니다.

이것은 다음과 같은 Wallis Product를 이용할 것입니다.

위 극한을 다시 쓰면 다음과 같습니다.

또한 계승의 정의를 이용하여 위 식을 변형하면 다음과 같습니다.

앞에서 밝힌 e^C 의 식을 위 식과 결합하면 다음을 얻습니다.

따라서

가 성립하므로 다음을 얻습니다.

위 식에서 e^C 는 상수이므로 결국

를 얻습니다.

Geschrieben von Sooji Shin