Fractional Calculus는 미분연산자 Dn = dn/dxn의 지수 n을 실수로 확장하여 미분연산자를 정의하고 그것을 응용하여 여러 가지 문제를 해결하는 수학의 분야이다. 감마함수를 이용하여 n을 실수로 확장해보자.
참고로 이 글은 전에 작성하였던 글을 웹버전으로 수정한 것이다.
실수계 미분연산자의 정의
함수 Fn을 다음과 같이 정의하자.
여기서 n은 자연수, f(y)는 0 ≤ y ≤ x 인 범위에서 연속인 함수이다. 라이프니츠 공식
을 이용하여 (1)의 첫 번째 식의 양변을 미분하면 자연수 n에 대하여
를 얻는다. F0'(x) = f(x) 이므로 위 식으로부터
를 얻는다. 따라서 Fn(x)는 n+1계 도함수가 f(x)와 같은 함수가 되며, k ≤ n인 자연수 k에 대하여 Fn(x)의 k계 도함수는 x = 0일 때 함숫값 0을 가진다. 즉 Fn는 f(x)를 0부터 x까지 n+1번 적분한 함수가 된다 :
따라서 이러한 반복적분은 함수
를 y에 대하여 한 번 적분한 함수와 같다. 감마함수를 이용하여 이 사실을 식으로 나타내면
이다. 즉 F(x)는 f(x)를 0에서 x까지 n번 반복 적분한 것이다. 미분 연산자를 D로 표기하고, 적분 연산자
를 D-1로 표기하자. 그러면 (2)의 등식은
로 나타낼 수 있다. 여기서 n은 정수이다. 이것을 확장하여 실수 λ에 대하여
로 정의한다. 이제 이 식이 잘 정의되었음을 보여야 한다. μ가 음이 아닌 실수이고 m이 두 조건 μ = m - ρ, 0 < ρ ≤ 1을 만족시키는 가장 작은 정수라고 하자. 그러면
이다. 여기서 두 미분연산자 Dm과 Dρ의 순서를 바꾸면
를 얻는다. 이 식을 이용하면 임의의 두 실수 α, β에 대하여
임이 증명된다. 따라서 (3)은 의 표현 형식 여부에 독립적으로 잘 정의된 식이다.
응용
정의 (3)을 응용하여 아벨의 적분방정식을 풀어보자. 감마함수의 정의에 의하여
이므로
를 얻는다. 함수 ψ(x)가 주어져 있을 때, 함수 f(t)에 대한 적분방정식 (4)를 아벨의 적분방정식(Abel's integral equation)이라고 부른다. ψ(x)가 연속적으로 미분 가능하고 x = 0 일 때 함숫값 0을 가지면, 이 적분방정식의 해는
이다. 이것은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
Geschrieben von Sooji Shin