18세기의 프랑스 수학자 뷔퐁(Buffon)은 다음과 같은 문제를 제시하였다.
일정한 간격의 평행선이 무수히 많이 그어져 있는 바닥에 임의로 바늘을 던졌을 때 바늘이 평행선에 닿을 확률은 얼마인가? (단, 바늘의 길이는 평행선 사이의 간격보다 짧다.)
이 문제는 원주율을 확률적으로 구하는 방법 중 하나로 잘 알려져 있다. 이제 적분을 이용하여 이 값이 2L/(dπ)이 됨을 증명해 보자.
아래 그림과 같이 평행선이 좌우로 그어져 있다고 생각하자. 나란히 있는 두 평행선 사이의 거리를 d라고 하고 바늘의 길이를 L이라고 하자. 그리고 바늘의 아래 끝과 그 바로 밑의 평행선과의 거리를 x라고 하자. 또한 바늘과 평행선 사이의 각을 θ라고 하자.
그러면 x의 범위는 0부터 d까지이며, θ의 범위는 0부터 π까지가 된다. 한편 바늘이 평행선에 닿으려면 x + L sinθ ≥ d 가 되어야 한다. 즉 바늘이 아래쪽 평행선에서 떨어진 거리 x와 바늘이 차지하는 높이 L sinθ 의 합이 평행선 사이의 간격보다 길어야 한다. 따라서 x와 θ가 가질수 있는 값의 범위 내에서 자유롭게 움직일 때(random variable), 주어진 조건을 만족시킬 가능성은
이 된다. 만약 바늘의 길이와 평행선 사이의 거리가 같으면 바늘이 평행선에 닿을 확률은 2/π가 된다는 것을 알 수 있다. 참고로 바늘의 길이가 평행선 사이의 간격보다 긴 경우에는, 바늘이 평행선에 닿을 확률은
이 된다. 앞의 이중적분과 비슷한 적분을 계산하되 x에 관한 적분의 범위에서 아래끝을 max{0, d-Lsinθ}로 바꾸면 된다. 왜냐하면 적분 범위의 아래끝이 0 미만이 될 수 있는 것을 방지해야 하기 때문이다.
Geschrieben von Sooji Shin