어떤 자연수가 9의 배수인지 알아보려면 각 자릿수를 모두 더한 수가 9의 배수인지 알아보면 된다. 예컨대 4352625가 9의 배수인지 알아보자. 물론 직접 나누어 보는 방법도 있지만 더 계산하기 쉬운 방법은 각 자리를 모두 더하는 것이다. 4+3+5+2+6+2+5=27이고 27이 9의 배수이므로 4352625는 9의 배수이다.
이러한 성질을 p진법으로 확장할 수 있다. p진법 수 N이 주어져있을 때 N이 p-1의 배수가 되는지 알아보려면 N의 각 자리의 숫자를 더한 수가 p-1의 배수가 되는지 확인하면 된다. 또 q2 = p-1 일 때, N이 q의 배수가 되는지 알아보려면 N의 각 자리의 숫자를 더한 수가 q의 배수가 되는지 확인하면 된다. 이것은 10진 자연수 N이 3의 배수가 되는지 확인하는 방법과 동일한 것이다. 이제 이 성질을 증명해보자.
정리 1. p진법 수 N이 p-1의 배수가 될 필요충분조건은 N의 각 자리 숫자를 더한 값이 p-1의 배수가 되는 것이다.
증명. p진법 수 N을 p진 전개식으로 나타내자. 즉
N(p) = dn×pn-1 + dn-1×pn-2 + … + d2×p1 + d1.
이때 법 p-1에 대하여 pk ≡ 1 이므로 위 식의 우변은 dn + dn-1 + … + d2 + d1과 합동이다. 따라서 N(p)을 p-1로 나누었을 때의 나머지는 N(p)의 각 자리수를 더한 값을 p-1로 나누었을 때의 나머지와 같다. ///
예컨대, 8진법 수 817545276(8)이 7로 나누어 떨어지는지 살펴보자. 각 자리의 숫자를 모두 더하면 55(8)이다. 다시 55(8)의 각 자리의 숫자를 모두 더하면 12(8)이다. 다시 12(8)의 각 자리의 숫자를 모두 더하면 3(8)이다. 3(8)은 7로 나누어 떨어지지 않으므로 817545276(8)도 7로 나누어 떨어지지 않는다. 더욱이 나누었을 때 나머지가 3임을 알 수 있다.
실제로 817545276(8) = 138332862 = 19761837×7 + 3 이다.
Sooji Shin.
Geschrieben von Sooji Shin